予我姝色(女记)(161)

2.

娘辞世之后，家中如遭凛冬之袭，往昔之盛景不再唯余一片萧索低迷之气，娘在时家中诸般学问研习皆赖娘悉心教导，尤其是姐姐锡蕙学识尽得娘之真传，于数学一道更显天赋异禀，然娘既逝仿若星沉月坠，姐姐骤失倚仗困于斗室之间，虽心怀壮志欲续研数术却无奈只能闭门造车，每遇疑难困惑环顾四周，竟无人可咨亦无处可求，其落寞与艰难，我于一旁观之心痛不已。

我本好绘画，常沉醉于笔墨丹青之间以绘事抒怀寄志，然娘丧之变姐妹维艰，我不忍见姐姐愁苦之态，遂毅然弃笔转而操持绣针，凭刺绣之技冀能稍解家中困厄，初涉刺绣之时手法生疏然心中有念，为活下去为自己为姐姐日夜苦练，不顾指尖伤痛，渐至技艺娴熟，绣品亦得众人青睐，以此微薄之力勉强支撑姐妹两人。

后哥哥随爹外出问学，我念姐姐心伤难抑，遂悄至娘生前书房欲以旧物宽她怀，未及门扉闻内有簌簌之声，我心疑轻推而入，乃见姐姐于昏黄烛光下，身姿端然素手抚卷，半点没有悲戚模样。

卷上便见姐姐矢志于勾股之理高维推究，昔之所学，勾股之法于平矩之形，弦幂合勾股二者幂之和，此乃众人尽知，然姐姐之思不止于此，欲穷其理于多维之境。

遂先察三维之直长方物，设其棱为长广高，分别以丈尺寸度之，其体斜络则谓之弦，姐姐濡墨绘直长方物之图于纸，虽形之表象，难全展多维妙蕴然亦足以启其灵思，于图间，引诸辅助线缕详析体斜络与各棱关联，先观其一平面斜络，此线与长广成直角之形，依勾股要义，其长即勾股两方和之方根，而此斜络复与高构直角，再施勾股之理遂得弦幂等于先所推平面的斜络长之幂，加诸高之幂，其间，姐姐列算筹于案反复推绎，虽四维之形难呈于目前然其数理渐明于心，筹策纵横，加减移项乘除诸法并用，每步皆审慎精思不敢有毫厘之差。

时而眉尖轻蹙若遇疑难之坎，时而展颜舒意似有所得之喜，我于侧侍奉虽未可尽解其算，然亦深感其专注之忱志意之坚。

再见及于三角与勾股之合参，姐姐先取直角之形定其锐者为一角，其间，正弦角之幂与余弦角之幂相并为一，此乃三角学之根基。姐姐遂由是推求半角之式，设半角为半之锐，依理有，余弦角等于一减二倍正弦半锐之幂，移项而得，正弦半锐等于正负方根下，一减余弦角除以二，姐姐取勾三股四弦五之特例，设其锐角之邻边为四，斜边为五，则余弦角为五分之四，代入半角之式以求正弦半锐，姐姐细加推算得正弦半锐为十分之一之方根，又以勾股之理验之，设半角所对边为对边之数，依理列算，对边之数之幂，加五分之四乘二分之五之幂，等于二分之五之幂，先解五分之四乘二分之五之幂得四，二分之五之幂为四分之二十五，遂得对边之数之幂为四分之九，故对边之数为二分之三，而正弦半锐等于对边之数除以二分之五亦为十分之一之方根，恰相契合，证半角之式无误。继而思究倍角之式，正弦二倍角等于二倍正弦角乘余弦角，余弦二倍角等于余弦角之幂减正弦角之幂。

姐姐仍据勾股之形设勾为勾长之数，股为股长之数，弦为弦长之数，一锐角为锐，则正弦锐等于勾长之数除以弦长之数，余弦锐等于股长之数除以弦长之数，姐姐精心构作一与原直角之形相似，且角为二倍锐之形，于此形中依勾股之理及相似关联推求，据相似之理，对应边成比例，设新形之勾为新勾长之数，股为新股长之数，弦为新弦长之数，则新勾长之数与勾长之数、新股长之数与股长之数、新弦长之数与弦长之数之比皆同于相似比，而正弦二倍锐等于新勾长之数除以新弦长之数，余弦二倍锐等于新股长之数除以新弦长之数，由勾股之理新勾长之数之幂加新股长之数之幂等于新弦长之数之幂，又新勾长之数等于相似比乘勾长之数，新股长之数等于相似比乘股长之数，新弦长之数等于相似比乘弦长之数，代入而得相似比之幂乘勾长之数之幂与股长之数之幂之和，等于相似比之幂乘弦长之数之幂亦合勾股之理，再以正弦锐等于勾长之数除以弦长之数，余弦锐等于股长之数除以弦长之数推之，可得正弦二倍锐等于二倍勾长之数乘股长之数除以弦长之数之幂，即二倍正弦锐乘余弦锐，余弦二倍锐等于股长之数之幂减勾长之数之幂除以弦长之数之幂，即余弦锐之幂减正弦锐之幂，费尽心力终得证之，我观姐姐推证，虽繁复而不紊，条理井然，足见其深厚精醇。

至于勾股之理求几何最值之法，姐姐设一圆，圆心名之曰圆中半径称径长，圆外有一点号为点外，自点外引圆之切线，切点命为切处。姐姐连圆中与点外，观之，切处与径长成直角之形，径长既定为常值，依勾股之理切处之幂等于圆中点外之距之幂减径长之幂，欲使切处之值最小，唯求圆中点外之距至微，姐姐沉虑良久，悟得圆中点外之距近极之时，即点外至圆心圆中之距最近刹那，亦唯当圆中点外之连线段垂直于过点外与圆心圆中之直线，圆中点外之距方为最小，由是，此最值之求豁然得解，姐姐由此例更思及椭圆双曲诸般圆锥之线，若有定点与定线求某相关线段最值亦或可借勾股之理通解，如椭圆者，设其方程为椭圆定式，有一定点号为定处曲线上一动点名为动处，姐姐欲求定点与动点之距最值，先连圆中与定处、圆中与动处，于三角形内，定点与动点之距之幂，等于圆中与定处之距之幂加圆中与动处之距之幂，减二倍圆中与定处之距乘圆中与动处之距乘夹角余弦，而圆中与动处之距与椭圆之关联，可由椭圆方术表述再以勾股之理之思，化诸量为直角之形边际关系，设椭圆上一点坐标合于参数之式，圆中与动处之距可表为一式，圆中与定处之距为确定之值，姐姐将此诸量代入定点与动点之距之式，历经繁难运算化简以求最值，其间虽计算繁冗，然姐姐心无旁骛步步为营终得近于正果。